Il calendario di dicembre 2024
Amenità geometriche della Natura
La margherita, uno dei fiori che possiamo trovare dovunque, ha molto spesso 34, 55 o 89 petali. Le rose hanno 5 o 8 petali. Nel girasole i semi sono disposti in due spirali, quella che gira in senso orario contiene 34 semi, quella che gira in senso antiorario ne contiene 21. Anche le scaglie delle pigne sono disposte lungo una doppia spirale: possono essere 5 in una direzione e 8 o 13 nella direzione opposta. Il cavolfiore romanesco (che troviamo in ogni supermercato) è costituito da rosette che possono essere in numero di 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc. Se la Natura non si comporta ad mentula canis* ci deve essere qualche relazione che connette tutti questi numeri.
La relazione c'è, per trovarla dobbiamo abbandonare le piante e parlare di conigli, anzi di conigli medioevali. Nel 1202 Leonardo Fibonacci** ha dato alla luce il Liber abbaci, sostanzialmente un manuale di aritmetica che per la prima volta presentava agli europei le cifre indiane (tra cui lo zero, che fino ad allora era ignoto ai matematici occidentali). Tra le molte questioni presentate nel volume c'è il calcolo della crescita di una popolazione di conigli sulla base empirica che ciascuna coppia di conigli diventi fertile dopo un mese dalla nascita e partorisca una nuova coppia durante il secondo mese. Ebbene, il numero delle coppie di conigli, , mese dopo mese, risulta:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...
E' proprio una successione che include tutti i numeri precedenti. E' immediato verificare che ogni termine della successione (che da allora è stata chiamata successione di Fibonacci, e i cui valori sono noti come numeri di Fibonacci) è la somma dei due termini precedenti.
Già abbiamo mostrato (nel calendario di ottobre) che la Natura predilige alcuni numeri: il 2, il 4, il 5, il 6 soprattutto per questioni di simmetria. A questi dobbiamo ora aggiungere i numeri di Fibonacci. Alcuni etologi ipotizzano che la preferenza della Natura*** per la successione di Fibonacci non sia casuale ma consenta l'ottimizzazione nutrizionale (massimizzazione dell'esposizione solare), dello spazio (non vengono lasciati vuoti), della robustezza strutturale, del vantaggio evolutivo (facilita l'impollinazione), ma la questione è ancora oggi irrisolta.
Oltre ad essere assai diffusa in natura, la successione di Fibonacci possiede una quantità di caratteristiche che fanno la felicità dei cultori dei numeri, e si ritrova, oltre che in biologia, in molti rami dello scibile: nella cristallografia, nella chimica, nell'economia, nella musica (Debussy, Bartok, Nono, ... ). Ma soprattutto nell'arte, e a questa dedichiamo qualche parola.
La successione di Fibonacci nasconde un grande segreto: contiene la sezione aurea cioè un numero, che si indica con Φ = 1,6180339887..., in un certo senso una costante estetica universale. Per il momento ci basta sapere che questo numero rappresenta un rettangolo con un preciso rapporto (nelle pagine del calendario si trova una breve spiegazione) tra altezza e base, insomma un rettangolo con le giuste proporzioni. La sezione aurea è nota fin dall'antichità e spontaneamente utilizzata dagli architetti di epoca greca e romana per stabilire le proporzioni degli edifici. Fidia e i suoi assistenti basarono la costruzione del Partenone sulla sezione aurea, ma probabilmente era già nota e utilizzata nell'antico Egitto, quindi migliaia di anni prima che venisse riconosciuta come elemento "nascosto" nella successione di Fibonacci. Nessuno sa davvero perché la sezione aurea possegga questa formidabile attrazione estetica: l'ipotesi più probabile è che essa consenta il riconoscimento di un fenomeno assai diffuso in natura e molto presente nelle proporzioni del corpo umano, da cui deriverebbe una sensazione di famigliarità e sicurezza riproducibile nell'opera d'arte
Un secondo segreto nascosto nella successione di Fibonacci è la spirale aurea, una spirale logaritmica che si ottiene dalla sezione aurea (vedere il calendario per la spiegazione). Si tratta di una spirale che appare in natura, dalle piccole alla grandi strutture: dagli avvolgimenti delle conchiglie alla forma delle galassie a spirale.
Un'altra tecnica matematica di cui la Natura si serve in abbondanza è l'autosimilarità, ovvero la capacità di produrre organismi dove ciascuna parte assomiglia al tutto anche se in una scala diversa: si tratta di organismi frattali, ovvero di oggetti con cui la Natura tenta di regolare il disordine (disordine peraltro essenziale per consentirle lo sviluppo di nuovi cammini evolutivi).
In generale è l'uomo che inventa una teoria matematica e - magari dopo secoli - scopre che un pezzo di Natura si comporta come previsto da quella teoria. In questo caso, invece, le cose sono andate al contrario, ovvero è stata la Natura a suggerire all'uomo l'esistenza di un'idea che ha preso la forma di una teoria matematica. Si tratta della teoria del caos ****, di cui l'autosimilarità è un elemento centrale, che studia quei fenomeni che si sviluppano in modo completamente diverso a fronte di piccole differenze nelle condizioni iniziali. E' una teoria recente, che prende l'avvio dalla pubblicazione di un articolo di Edward Norton, nel 1963.
Il più celebre esempio di fenomeno caotico, noto al largo pubblico, è il cosiddetto effetto farfalla*****, citato anche dal segretario dell'ONU, Kofi Annan, durante la cerimonia con cui gli è stato conferito il premio Nobel: "una farfalla che sbatte le ali nella giungla amazzonica può causare una violenta tempesta nell'altro emisfero". E' un caso estremo, improbabile ma non impossibile, ma eventi di cui sembra impossibile determinare lo sviluppo li incontriamo in tutti i giorni: nella formazione e dinamica delle nubi, nelle crisi cardiache ed epilettiche (che dipendono rispettivamente da un andamento inatteso dei ritmi cardiaci e nell'attività elettrica dei neuroni), nel movimento delle correnti oceaniche e delle correnti del magma vulcanico, nel comportamento collettivo delle folle, nell'andamento dei mercati azionari, nelle traiettorie degli asteroidi, che possono perdere d'improvviso la loro orbita., La Natura ci ha dunque suggerito uno strumento matematico, ancora in evoluzione, in grado di descrivere eventi di realtà molto diverse tra loro.
Un componente della teoria del caos è la geometria frattale, fondata da Benoît Mandelbrot
all'inizio degli anni '80, che mette in luce come, all'interno dei fenomeni caotici, possono trovarsi inattese regolarità, ovvero dinamiche che si ripetono regolarmente, anche se su scale diverse. A queste regolarità locali, a questi inattesi frammenti di organizzazione affondati dentro al caos, lo stesso Mandelbrot diede il nome di frattali, dal latino frangere, spezzare.
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* per rispetto del lettore abbiamo nobilitato usando il latino l'espressione del linguaggio comune "a cazzo di cane". Ma chi pensi che questo sia un modo di dire giovanilistico e di recente introduzione nella lingua italiana, sbaglierebbe alla grande e mostrerebbe di ignorare un autentico eroe dell'animalismo, ovvero Barnabò Visconti, signore di Milano insieme al fratello Galeazzo verso il 1350. Si da il caso che Barnabò amasse moltissimo i cani (soprattutto mastini e segugi): ne aveva circa cinquemila che erano lasciati liberi di girellare per la città; nel caso uno di essi decidesse di vivere stabilmente in una famiglia, questa era obbligata da leggi molto severe a mantenerlo pulito, curato e sfamato. Barnabò si era riservato il diritto di convocare il nuovo padrone a palazzo, ovvero "alla Cà di càn" (in piazza San Giovanni in Conca, attualmente piazza Missori, abbattuta nel 1947) per verificare lo stato di salute del cane, chiamata che non poteva non suscitare apprensione
** Leonardo Bigollo da Pisa (1170-1240), detto Fibonacci, fu senz'altro il più grande matematico europeo del medioevo. Ancora oggi, a 800 anni dalla sua scomparsa, esiste una rivista internazionale a lui dedicata. Nel 1998 gli è stato anche dedicato l'asteroide 6765
*** in Natura si osservano anche altre sequenze, come quella dei numeri triangolari, (1, 3, 6, 10, 15, 21, ...), dei numeri esagonali (1, 6, 15, 28, 45, ...), dei numeri catalani (1, 1, 2, 5, 14, 42, ...) e altre ancora, ma nessuna è così frequente come la successione di Fibonacci
**** la teoria del caos, pur consistendo in una formulazione matematica dei fenomeni, NON è una legge di natura, come la gravitazione universale di Newton, ma piuttosto uno strumento, ancora agli albori, che consente di "guardar dentro" a molti fenomeni specifici per cercare eventuali comportamenti emergenti, ovvero cercare se la complessità crescente non determini strutture inattese
***** l'effetto farfalla è ben illustrato dal profetico racconto Rumore di tuono, 1964, di Ray Bradbury, che narra di un turista del tempo che si reca nel passato per sessanta milioni di anni. Scivola sul terreno dalla passerella che avrebbe dovuto impedirgli di calpestare il suolo e fa pochi passi. Quando torna alla sua epoca scopre che si parla una lingua imbastardita e che il presidente non è quello che c'era alla partenza. Si guarda gli stivali: "La farfalla cadde sul pavimento, una cosa squisita, una piccola cosa che poteva sconvolgere gli equilibri".
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